Un huevo y una esfera pueden ayudar a explicar un problema que llevaba más de 60 años esperando respuesta. Una esfera perfecta se comporta igual se mire por donde se mire. Un huevo, no. Y algo parecido, salvando todas las distancias, es lo que acaban de encontrar dos investigadores vinculados a Galicia en uno de los espacios fundamentales de la geometría moderna.. Alberto Rodríguez Vázquez, de la Universidade de Santiago de Compostela (USC), y Gonzalo Cao Labora, de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), han construido nuevas «geometrías de Einstein» no homogéneas en los llamados espacios proyectivos complejos. El resultado permite responder afirmativamente, en las dimensiones n=4 y n=6, a una pregunta formulada en 1965 por el geómetra francés Marcel Berger y que había resistido durante seis décadas.. Ambos investigadores están vinculados al Centro de Investigación e Tecnoloxía Matemática de Galicia (CITMAga) y firman el trabajo Inhomogeneous Einstein metrics on complex projective spaces.. Un mismo espacio con distintas geometrías. Para comprender el hallazgo hay que partir de una idea poco intuitiva: en matemáticas, un mismo espacio puede admitir diferentes geometrías. Una «métrica» determina, simplificando mucho, cómo se miden las distancias y los ángulos dentro de él.. Entre ellas se encuentran las denominadas métricas de Einstein, especialmente relevantes porque están relacionadas con las ecuaciones de la relatividad general que describen la geometría del espacio-tiempo.. Los investigadores trabajan con los denominados espacios proyectivos complejos, objetos centrales en la geometría y que tienen aplicaciones actuales incluso en campos como la computación cuántica.. Desde principios del siglo XX se conocía en ellos una geometría de Einstein, la denominada métrica de Fubini-Study. En 1965, Marcel Berger planteó una pregunta aparentemente sencilla: ¿existen otras?. En los años ochenta, Wolfgang Ziller encontró una segunda geometría para determinadas dimensiones «impares». Sin embargo, las dimensiones «pares» continuaron resistiéndose. Allí, Fubini-Study seguía siendo la única solución conocida.. La respuesta, seis décadas después. Cao Labora y Rodríguez Vázquez han demostrado ahora que existen nuevas geometrías de Einstein para dimensiones entre 3 y 7 y, especialmente, han encontrado las primeras para los casos pares n=4 y n=6.. La gran particularidad es que son no homogéneas. Es decir, aunque cumplen las ecuaciones de Einstein, no se comportan exactamente igual en todos los puntos del espacio.. Los propios investigadores recurren al huevo y la esfera para explicarlo: «A grandes rasgos, mantienen una diferencia similar a la que existe entre un huevo y una esfera perfecta». La esfera presenta una gran uniformidad; el huevo cambia dependiendo de la zona que se observe.. Puzle resuelto con ayuda del ordenador. Una de las razones por las que el problema permaneció abierto tanto tiempo es la enorme complejidad de las ecuaciones de Einstein. Los investigadores aprovecharon las simetrías del espacio para reducirlas a un problema más sencillo.. El paso final puede imaginarse como un puzle: construir dos piezas desde extremos diferentes y comprobar que ambas encajan exactamente en el centro.. Para certificar ese encaje utilizaron el ordenador, pero no mediante una simulación que simplemente sugiriese que existe una solución. Recurrieron a computación validada, capaz de controlar los pequeños errores de redondeo que inevitablemente producen las máquinas.. El procedimiento trabaja con intervalos que contienen de manera garantizada el valor exacto. De esta forma, el cálculo informático puede formar parte de una demostración matemática rigurosa y no quedarse únicamente en una aproximación.. Las matemáticas ante la inteligencia artificial. El descubrimiento llega además en pleno debate sobre el papel de la inteligencia artificial en las matemáticas. Los autores destacan el reciente auge de las demostraciones asistidas por IA y consideran que puede estar comenzando una nueva etapa para la disciplina.. Pero subrayan una diferencia esencial: detectar un patrón o sugerir una solución no equivale a demostrarla. Formular los problemas, comprender las estructuras y separar las evidencias de las pruebas rigurosas continúa siendo una tarea fundamentalmente humana.. Y recuerdan que las matemáticas más abstractas pueden terminar teniendo aplicaciones cotidianas décadas después: la geometría diferencial y la relatividad están detrás del GPS; el análisis de Fourier, de formatos como MP3 y JPEG; la teoría de números, de sistemas de seguridad bancaria; y la geometría integral permite reconstruir imágenes médicas como las de un TAC.
Construyen nuevas «geometrías de Einstein» y responden a una pregunta planteada hace seis décadas por el francés Marcel Berger
Un huevo y una esfera pueden ayudar a explicar un problema que llevaba más de 60 años esperando respuesta. Una esfera perfecta se comporta igual se mire por donde se mire. Un huevo, no. Y algo parecido, salvando todas las distancias, es lo que acaban de encontrar dos investigadores vinculados a Galicia en uno de los espacios fundamentales de la geometría moderna.. Alberto Rodríguez Vázquez, de la Universidade de Santiago de Compostela (USC), y Gonzalo Cao Labora, de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), han construido nuevas «geometrías de Einstein» no homogéneas en los llamados espacios proyectivos complejos. El resultado permite responder afirmativamente, en las dimensiones n=4 y n=6, a una pregunta formulada en 1965 por el geómetra francés Marcel Berger y que había resistido durante seis décadas.. Ambos investigadores están vinculados al Centro de Investigación e Tecnoloxía Matemática de Galicia (CITMAga) y firman el trabajo Inhomogeneous Einstein metrics on complex projective spaces.. Un mismo espacio con distintas geometrías. Para comprender el hallazgo hay que partir de una idea poco intuitiva: en matemáticas, un mismo espacio puede admitir diferentes geometrías. Una «métrica» determina, simplificando mucho, cómo se miden las distancias y los ángulos dentro de él.. Entre ellas se encuentran las denominadas métricas de Einstein, especialmente relevantes porque están relacionadas con las ecuaciones de la relatividad general que describen la geometría del espacio-tiempo.. Los investigadores trabajan con los denominados espacios proyectivos complejos, objetos centrales en la geometría y que tienen aplicaciones actuales incluso en campos como la computación cuántica.. Desde principios del siglo XX se conocía en ellos una geometría de Einstein, la denominada métrica de Fubini-Study. En 1965, Marcel Berger planteó una pregunta aparentemente sencilla: ¿existen otras?. En los años ochenta, Wolfgang Ziller encontró una segunda geometría para determinadas dimensiones «impares». Sin embargo, las dimensiones «pares» continuaron resistiéndose. Allí, Fubini-Study seguía siendo la única solución conocida.. La respuesta, seis décadas después. Cao Labora y Rodríguez Vázquez han demostrado ahora que existen nuevas geometrías de Einstein para dimensiones entre 3 y 7 y, especialmente, han encontrado las primeras para los casos pares n=4 y n=6.. La gran particularidad es que son no homogéneas. Es decir, aunque cumplen las ecuaciones de Einstein, no se comportan exactamente igual en todos los puntos del espacio.. Los propios investigadores recurren al huevo y la esfera para explicarlo: «A grandes rasgos, mantienen una diferencia similar a la que existe entre un huevo y una esfera perfecta». La esfera presenta una gran uniformidad; el huevo cambia dependiendo de la zona que se observe.. Puzle resuelto con ayuda del ordenador. Una de las razones por las que el problema permaneció abierto tanto tiempo es la enorme complejidad de las ecuaciones de Einstein. Los investigadores aprovecharon las simetrías del espacio para reducirlas a un problema más sencillo.. El paso final puede imaginarse como un puzle: construir dos piezas desde extremos diferentes y comprobar que ambas encajan exactamente en el centro.. Para certificar ese encaje utilizaron el ordenador, pero no mediante una simulación que simplemente sugiriese que existe una solución. Recurrieron a computación validada, capaz de controlar los pequeños errores de redondeo que inevitablemente producen las máquinas.. El procedimiento trabaja con intervalos que contienen de manera garantizada el valor exacto. De esta forma, el cálculo informático puede formar parte de una demostración matemática rigurosa y no quedarse únicamente en una aproximación.. Las matemáticas ante la inteligencia artificial. El descubrimiento llega además en pleno debate sobre el papel de la inteligencia artificial en las matemáticas. Los autores destacan el reciente auge de las demostraciones asistidas por IA y consideran que puede estar comenzando una nueva etapa para la disciplina.. Pero subrayan una diferencia esencial: detectar un patrón o sugerir una solución no equivale a demostrarla. Formular los problemas, comprender las estructuras y separar las evidencias de las pruebas rigurosas continúa siendo una tarea fundamentalmente humana.. Y recuerdan que las matemáticas más abstractas pueden terminar teniendo aplicaciones cotidianas décadas después: la geometría diferencial y la relatividad están detrás del GPS; el análisis de Fourier, de formatos como MP3 y JPEG; la teoría de números, de sistemas de seguridad bancaria; y la geometría integral permite reconstruir imágenes médicas como las de un TAC.
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